浅谈在三维向量教学中空间想象能力的培养
忻州师范学院附属外国语中学高级教师
新教材（试验本9B）中引入了三维向量，即用空间向量的知识和方法解决立体几何问题，使推理严谨、冗繁，需要较强空间想象力的立体几何试题，在求解策略上有了重大的突破和改进。这是面向新世纪高中数学课程改革的一项重要举措。向量知识的引进，使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题，用计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度。然而，一个新的期待解决的问题随之产生了，由于对数具体的研究和应用，无需对形作出直观形象的考察，必将削弱教学大纲中提出的培养学生的“空间想象能力”，这一基本要求。因此，在三维向量教学中如何培养学生的空间想象能力，是我们需要研究的新课题，下面谈谈自己的一些肤浅认识，敬请同行、专家们斧正。
一、在概念的教学中培养空间想象能力
空间想象是根据头脑里已有的表象，经过大脑思维加工、改造，在空间中形成新形象的心理活动过程。任何活动都离不开想象，特别是在创造新事物和新概念的形成过程中，想象有着极其重要的作用。因此，用充分利用空间向量有关概念的引入，培养学生的空间想象能力。例如：教材中引入空间向量的概念时，利用了平行四边形在空间平移的方法，让学生在一块硬纸片上画一平行四边形并剪下来，然后放入空间反复任意平移某一单位，观察、想象其平移的轨迹和方向，再给出空间向量的概念及表示法。通过学生参与空间向量的形成过程，使其深刻体会和理解空间向量中“空间”二字的含义，为本内容的学习和空间观念的形成奠定了基础，又如：三维直角坐标系概念的建立，也是培养学习空间想象能力的好素材。因为三维直角坐标系的建立本身源于解决空间问题的需求，它的思维领域就是空间，即思考问题的立足点、出发点、根本点是空间的范畴；三维直角坐标系的建立，使描述一些几何量的特征及其位置关系代数化，表面上回避了严谨的逻辑推理，和对空间图形结构的分析、想象。其实，它是人们空间想象能力达到一定程度的结晶，标志着人们从形象直观思维上升到高度抽象思维这一层面，空间想象能力达到了一个新的水平，进入了一个新的境界；“数”本身就是多次抽象的结果，由具体的“形”抽象为“数”，由“数”联想到“形”，这是分析问题和解决问题常用的数形结合思想方法；因此，三维直角坐标系的建立，对空间想象能力提出了更高的要求。在教学中，让学生自做标有刻度的三维直角坐标系和大小不同的向量模型，在坐标系内转动和平移不同的向量，观察、分析、对比其在三个坐标轴上表示的分量，进一步得出用（x，y，z）表示的
的结论，即
，然后用向量几何运算的方法得出一些基本运算法则和常用的一些结论，如：
，
，
，
等，这样，学生见到
或
就会想到它们在空间中的位置关系和结构特征，因此，空间中的向量代数化，而用代数表示的向量进入空间，并在大脑中不断地转化和运行，这样，“数”与“形”的结合和交替大大地培养了学生的空间想象能力。
二、在定理、法则的教学中培养空间想象能力
教材中的概念、定理、法则是教学内容的主体，空间想象能力的培养必须从这里做起。爱因斯坦说过：“猜想比知识更重要”。没有大胆的猜想，就没有大的发现。因此，三维向量中的定理、法则，就是通过对现实世界中空间图形和原有知识结构，进行分析、类比、抽象、概括、想象、猜想等思维活动而产生的。教学中要展现并让学生主动参与定理形成的思维过程，是培养空间想象能力的重要途径。现给出“空间向量基本定理”的教学片段：
1、复习平面向量基本定理：如果
，
是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量
，有且只有一对实数 x，y 使
。
2、教师的启发与学生的思维活动
师：在空间中存在相应的定理吗（此时，学生在原有的知识的基础上，进行广泛联想、想象）
生：平面向量基本定理中“
，
为不共线向量”，因为任意两个向量共面，但任意三个向量不一定共面，在多维的情况下，定理的条件相应地变为“
，
，
为不共向量”。
师：定理的内容如何描述？
生：仿照平面向量基本定理，可描述为（经过师生的共同整理）：如果三个向量
，
，
不共面，那么对空间任一向量
，存在唯一的有序实数组x，y，z使
（进行了猜想）
师：怎样作空间任意三个不共面向量
，
，
？
生：如图（1）
师：如何体现不共面的直观性呢？
生：平移到同一起点O如图（2）
师：在空间中作任一向量
。
生：如图（3）
师：
能用
，
，
表示吗？（学生处在积极的思考、探索、想象中）
生：平移
使其与
，
，
共起点。如图（4），由平面向量基本定理推出结论。
在教师的启发、诱导下，学生在原认知结构的基础上，进行了由平面到空间卓有成效的联想、想象、猜想：在空间中平移向量，从而想象到一个理想的模型——图（4），使得问题获解。这样，使学生参加与定理形成的思维过程，使其大脑思维插上了想象的翅膀，在空间中翱翔，不仅加深对定理本质的理象，而且对空间想象能力是一次有效的培养和训练。
三、在例（习）题的教学中培养空间想象能力
例（习）题是教学内容的重要组成部分，通过对例（习）题的教学，使学生掌握用所学知识分析问题、解决问题的思维方法；培养学生严谨的逻辑推理、规范的书写、准确的运算能力；对加强基础知识的掌握，促使基本技能和基本思想的形成起着积极的作用。同时，例（习）题的教学也是培养学生空间想象能力的重要途径。教学中根据例（习）题的特征，有意识挖掘其功能，适时地，有意识地对空间想象能力进行培养和训练。
如：课本
例1。主要有以下特征：（1）平行六面体的形成过程是一个空间观念，其中点、线、面位置关系具有直观性，为空间想象提供了客观表象。（2）化简向量渗透了空间向量的几何运算和平移。因此，通过学生画图、识图、析图、察图解决问题，逐步培养和形成不借助图形的直观性，只凭空间想象去解决问题的能力，
练习.1、2，
习题9，5具有同样的功能。又如课本
练.1.是找P，Q，R，S的位置。这是一道由平面到空间向量几何运算的典型题目。对此题改变如下：（1）改变0的位置，（2）改变A，B，C所在平面的位置，（3）同时改变0的位置和A，B，C所在平面的位置，在以上每种情况下各找点P，Q，R，S的位置。这样，既培养了学生的空间想象能力，又为以后“向量坐标表示”的学习奠定了基础。再如
例3已知A（3，3，1），B（1，0，5）求（1）略，（2）到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标所满足的条件。完成教学任务后，为了捕捉培养学生空间想象能力的大好时机，提出以下问题：（3）P点的轨迹是什么？学生经过积极地思考、丰富的想象，最后成功地说出：“平面”，x，y，z所满足的关系正是空间坐标系下的平面方程。这样形象直观的“平面”可用抽象的三元一次代数方程表示：反之对于一个“三元一次方程”可想象其所表示的“平面”。对于激发学生的求知欲，启迪智慧，培养空间想象能力起到了积极的作用。
四、在“阅读材料”的教学中培养空间想象能力
“阅读材料”是教学内容不可缺少和忽视的组成部分，它揭示了数学概念产生的实际背景，体现了数学知识源于实践又反作用于实践这一过程。拓宽了学生的知识和思维领域，启迪学生智慧，培养学生的空间想象能力，将所学知识进行推广和深化，对数学的发展和进步起到了不可估量的作用。本教材先从二维、三维向量出发，根据解决实际问题的需要，把向量概念推广到四维、五维……n维向量空间及相应的运算体系。我们知道二维、三维向量空间是可视的，但n维向量空间只能靠想象来完成，让学生认真学习“阅读材料”可把思维活动引到一个无限的想象之中。
因此，三维向量教学中培养学生空间想象能力是可行的。教材中蕴含着极其丰富的素材，教学中要有意识地挖掘和提炼，不仅培养学生空间想象能力，而且较好地培养了学生的创新意识和创新能力。本文只想起抛砖引玉的作用。
注：本文参考全日制普通高级中学教科书（试验本）数学第二册（下B）
人民教育出版社中学教学室